In this paper, we introduced two novel subclasses of bi-univalent functions, Με (α, Β(α, ξ)) and ΗΣ (α, μ, Β(x, ξ)), utilizing Lucas-Balancing polynomials. Within these function classes, we established bounds for the Taylor-Maclaurin coefficients |a2| and a3, addressing the Fekete-Szegö functional problems specific to functions within these new subclasses. Moreover, we illustrated how our primary findings could lead to various new outcomes through parameter specialization.

في هدا البحث كنتيجة لنظرية العوامل الوحيدة في نظرية الاعداد والتي تنص على ان كل عدد طبيعي هو عدد اولى او يمكن كتابته كحاصل ضرب اعداد اولية , بالإمكان تقسيم مجموعة الاعداد الطبيعية الى عدد لانهائي من المستويات المنفصلة التي يحتوى كل مستوى منها عدد لانهائي من الاعداد ماعدا المستوى .

وكانت الدراسة متمثلة في الاتى :

1-مقارنة الاعداد في كل المستويات

2-قابلية القسمة بين كل الاعداد في كل المستويات